数学为什么那么难

这是初中一年级最简单的知识点——绝对值。

这道题非常容易，所以这只是热身，今天真正的题目是：

下面讲解分成三步：解题思路、深度分析、底层规律。越到后面越重要。

1

解题思路

第一步：找到绝对值等于0时，X的数值，分别是-5，-1，3；

第二步：找到X点，让它与-5、-1、3的距离之和最小；

第三步：排除法。这个数不应该小于-5，也不应该大于3。那样距离之和就更长了。一定是在-5和3之间；

第四步：-5和3之间的距离是8，在-5和3之间的任意一个数，比如0，到-5和3的距离之和，也是8。但是，这还没完，还要加上0到-1的距离；

第五步：如果这个数正好是-1呢，不就没距离了么？所以，当X=-1时，这个式子等于∣-1+5∣+∣-1+1∣+∣-1-3∣。

结论：当X=-1时，式子最小值是8。

你发现自己的卡壳点在哪里？你卡壳的地方，就是你的知识盲点。

这道题你现在听会了，不一定真的学会了。答案不是结束，是真正学习的开始。

比如这道题，只是增加一个条件，你还会做吗？

2

答案不是终点

如果你听会一道题就浅尝辄止，没有找到规律，那么像上图这道题，你还会吗？只是多了一个条件，你是不是就有点似是而非了呢？

请记住，你考试中的绝大多数错误，都来自于这种似是而非，感觉会又感觉不会，好像做过又想不起来。

为什么“一听就会、一考就废”？你根本没有学会。比如，绝对值的本质到底是什么？X点与另一点的距离。如果是四个点，并没有本质不同。

第一步：找出绝对值等于0时，X的数值。比如这道题是-5、-1、3、7。

还是第一步：你其实不用找到四个，只需要找到中间的两个数字-1和3。

第二步：得出结论，X=1时，上述公式数值最小。

我这么快得出结论，我跳过的推理过程，你能补全吗？你知道这类题目的通用解法了吗？我的结论对吗？

我先不给你讲解，如果你真的想把绝对值彻底搞清楚，我先问你一些问题，看你能不能回答上来？每一个问题，都能帮助你更深刻地理解绝对值的本质。

1、∣x∣是什么意思？

2、∣x-3∣是什么意思？最小值是什么，x是多少？

3、∣x+5∣+∣x-3∣的最小值是什么意思？怎么求？x是多少？

4、∣x+5∣+∣x+1∣+∣x-3∣的最小值是什么意思？x是多少？怎么求？有没有最简单的步骤？

5、这类问题，如果是奇数个绝对值，最小值是什么？怎么求？x是多少？如果是偶数个绝对值呢？

现在，我挨个回答刚才的问题。这个过程其实应该你自己做，这样你才能彻底搞懂绝对值这个知识点。

1、∣x∣是什么意思？答：是x点到原点0的距离。

2、∣x-3∣是什么意思？最小值是什么，x是多少？答：你可能会说“是(x-3)到0的距离”，何必这么麻烦呢。其实本质就是x点到3的距离。所以最小值是0，此时x=3。

3、∣x+5∣+∣x-3∣的最小值是什么意思？怎么求？x是多少？答：最小值的本质是，x点到-5和3的距离之和最小。x点在两点之间，距离之和最小，刚好等于-5到3的距离，也就是8。此时x是一个范围，-5≤x≤3。

4、∣x+5∣+∣x+1∣+∣x-3∣的最小值是什么意思？x是多少？怎么求？有没有最简单的步骤？答：最小值的本质是，x点到-5、-1、3这三个点的距离之和最小。x=-1时，最小值是8。最快速的计算方法是，计算两头数字之间的距离。而且你发现没有，这个距离之和与第3问的距离之和是一样的，都是8。有什么不同呢？对，只有x的取值范围是不同的。

5、∣x+5∣+∣x+1∣+∣x-3∣+∣x-7∣。最小值是[7-(-5)]+[3-(-1)]=16，此时-1≤x≤3。

最后，你想到这种类型题的通用解了吗？

如果你能依次回答这些问题，都想明白了，你对绝对值的本质才有了深刻的理解。而且你会发现，刚才我快速给出的答案x=1是错误的，x应该是一个范围，-1≤x≤3。

错在哪里？错在审题不清，错在思维惯性，根本上还是错在对于绝对值的理解不到位。

行百里者半九十。很多同学一道题想出思路，就不管不顾地冲向终点，结果在这些小的地方栽了跟头。

如果现在你真的学会了，我再变化一下，你试试下面这道题。

3

底层规律

会做这道题不是目的，要举一反三。不只会做一道题，还要解决万道题。

通过这道题，你能总结出哪些更底层的规律：

第一，问题拆解是底层思路。复杂问题拆解成简单问题，大问题拆解成小问题，多步任务拆解成单步任务。这不仅仅是解题技巧，更是人生智慧。学任何东西都不容易，你只有学会把问题拆解，集中精力，各个击破，你才有可能赢得最终的胜利。

第二，借假修真是底层能力。题目只是手段，是帮助你理解问题的工具。你要透过现象看本质，通过题型抓规律，只要找到规律，学会一题顶万题。如果你只是满足于看答案，那么只能是“一看就会、一做就废”。

第三，分类讨论是重要方法。最后给你留的那道题也涉及分类讨论。分类讨论是数学的核心思想，必须做到不重不漏。我前面匆忙得出了错误结论，就是忽略了取值范围。

第四，数形结合是有效工具。用图形表示数字，看到之后更形象。你不要放弃这个优势，多动笔，画一画，这样无论是学习新知识还是解决复杂难题，都可以事半功倍。

最后，从解题技巧层面来说，这道题你可以选取特殊值。特殊值不是蒙答案，而是给你提供解题思路和方向。

……你还能总结出哪些适合自己的底层规律？

之前题目重做，做不出来，说明没学会

为什么做一道题，要花时间总结底层规律？当然是为了省时省事、提高效率。

很多同学看起来很勤奋，起早贪黑，天天补课，刷题无数，但为什么成绩还是上不去？因为那只是在表演勤奋，是用战术上的勤奋来掩饰战略上的懒惰。

美团的创始人王兴说：“多数人为了逃避真正的思考，愿意做任何事情。”藤爸想跟你说的是：只有思想上的勤奋，才是真正的勤奋。

动动脑筋就可以学会一道题，解决万道题。你想想，哪个省事、哪个费事啊？

人生没难题，学会找规律